Intégrale de \( \sec^4(x) \)

Dérivation et évaluation

Évaluez l'intégrale :

\[ \int \sec^4 x \, dx \]

Écrivons l'intégrande \( \sec^4 x \) sous la forme du produit \( \sec^2 x \sec^2 x \) :

\[ \int \sec^4 x \, dx = \int \sec^2 x \cdot \sec^2 x \, dx \]

Utilisez l'identité trigonométrique \( \sec^2 x = \tan^2 x + 1 \) pour écrire l'intégrale comme suit :

\[ \int \sec^4 x \, dx = \int (\tan^2 x + 1) \sec^2 x \, dx \]

Développons l'intégrande et réécrivons l'intégrale sous la forme d'une somme d'intégrales :

\[ \int \sec^4 x \, dx = \int \tan^2 x \sec^2 x \, dx + \int \sec^2 x \, dx \]

Utilisez l'intégration par substitution : posons \( u = \tan x \), ce qui donne \( \dfrac{du}{dx} = \sec^2 x \) ou \( dx = \dfrac{1}{\sec^2 x} \, du \). En substituant ceci, on obtient :

\[ \int \sec^4 x \, dx = \int u^2 \sec^2 x \left(\dfrac{1}{\sec^2 x}\right) du + \int \sec^2 x \, dx \]

Simplifions l'expression :

\[ \int \sec^4 x \, dx = \int u^2 \, du + \int \sec^2 x \, dx \]

Évaluons en utilisant les formules d'intégrales standard \( \displaystyle \int u^2 \, du = \dfrac{1}{3} u^3 \) et l'intégrale courante \( \displaystyle \int \sec^2 x \, dx = \tan x \) :

\[ \int \sec^4 x \, dx = \dfrac{1}{3} u^3 + \tan x + c \]

où \( c \) est la constante d'intégration.

Revenons à la variable initiale en remplaçant \( u = \tan x \) pour obtenir la réponse finale :